St. Petersburg Paradox (Nghịch lý St. Petersburg) là một bài toán nổi tiếng trong xác suất và kinh tế học, cho thấy một điều rất thú vị:
Một trò chơi có giá trị kỳ vọng bằng vô hạn, nhưng hầu hết mọi người chỉ sẵn sàng trả một số tiền khá nhỏ để tham gia.
- Tôi tung một đồng xu đồng chất. Nếu ra ngửa ngay lần đầu, bạn nhận 2 nghìn đồng và trò chơi kết thúc.
- Nếu ra sấp, tôi tung tiếp — và tiền thưởng nhân đôi. Cứ như vậy cho đến khi xuất hiện mặt ngửa đầu tiên.
- Ra ngửa ở lần thứ 2 → 4 nghìn.
- Lần thứ 3 → 8 nghìn.
- Lần thứ 10 → hơn 1 triệu.
- Lần thứ 30 → hơn 1 tỷ đồng.
- Và cứ tiếp tục...
Câu hỏi: bạn sẵn sàng trả bao nhiêu để được chơi một ván?
Mỗi dòng đóng góp đúng 1 nghìn đồng. Và dãy này kéo dài vô hạn.
Giá trị kỳ vọng = 1 + 1 + 1 + 1 + … = ∞
Theo lý thuyết quyết định cổ điển, bạn nên sẵn sàng trả mọi số tiền hữu hạn — 1 triệu, 1 tỷ, cả gia sản — để được chơi một ván.
Nhưng gần như không ai làm vậy. Đa số người ta trả tối đa vài chục nghìn. Đó chính là Nghịch lý St. Petersburg, do Nicolas Bernoulli nêu ra năm 1713 và được Daniel Bernoulli phân tích năm 1738 trong tạp chí của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg — nơi cái tên ra đời.
Câu trả lời là giá trị kỳ vọng vô hạn đến từ những khoản thưởng khổng lồ với xác suất nhỏ đến mức thực tế gần như không bao giờ xảy ra trong đời một con người. Trung bình bị kéo lên bởi những sự kiện không tồn tại trong trải nghiệm thực.
Về mặt xác suất, với những phân phối "đuôi nặng", giá trị trung bình là một con số gây hiểu lầm.
Ngoài ra, lời giải thích còn nằm ở chỗ ngân hàng không vô hạn. Không sòng bạc nào trả nổi 2 lũy thừa 100. Nếu người tổ chức chỉ có khoảng 1.000 tỷ đồng, chuỗi bị cắt sau khoảng 40 bước — và giá trị kỳ vọng tụt xuống chỉ còn khoảng 40 nghìn đồng. Đột nhiên con số bạn nghĩ trong đầu lúc nãy trở nên rất hợp lý.
Vì sao chuyện này vẫn quan trọng?
Nghịch lý St. Petersburg không phải trò đùa của các nhà toán học thế kỷ 18. Cấu trúc "xác suất cực thấp nhưng phần thưởng cực lớn" xuất hiện khắp nơi:
- Vé số: giá trị kỳ vọng đôi khi vượt giá vé, nhưng đó vẫn không phải khoản đầu tư tốt.
- Đầu tư mạo hiểm: lợi nhuận quỹ VC tuân theo phân phối đuôi dài, một thương vụ gánh cả danh mục — và trung bình lịch sử nói rất ít về ván tiếp theo.
Khi ai đó chứng minh cho bạn rằng một khoản đầu tư có "giá trị kỳ vọng cực cao", hãy hỏi thêm hai câu:
- Kết quả điển hình là gì?
- Và ai sẽ trả tiền nếu tôi thắng lớn?
Tài liệu tham khảo và đọc thêm:
- https://plato.stanford.edu/entries/paradox-stpetersburg/
- https://abhsarma.github.io/St-Petersburg-Paradox/index.html
- https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC3811154/
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét