Friendship paradox

 

Your friends are on average more popular than you are

Tính trung bình thì bạn bè của bạn có nhiều bạn hơn bạn.

Đây là nội dung cơ bản của nghịch lý tình  bạn – The friendship paradox.

Nhà xã hội học Scott Feld lần đầu tiên giải thích ý tưởng về "nghịch lý tình bạn" vào năm 1991 trong một bài báo có tiêu đề "Tại sao bạn của bạn có nhiều bạn hơn bạn." Ý tưởng chung — dựa trên một phép tính đơn giản — là số lượng bạn bè của bạn bè của một người trung bình lớn hơn số lượng bạn bè của cá nhân đó.

​

(Nguồn: https://www.reliantsproject.com/2020/07/19/concept-10-felds-friendship-paradox-and-why-your-friends-have-more-friends/)

 

Điều quan trọng là nghịch lý này chỉ đề cập đến giá trị trung bình, mà bạn biết đấy, giá trị trung bình chỉ là một đại lượng thống kê mô tả. Young-Ho Eom tại Đại học Toulouse ở Pháp và Hang-Hyun Jo tại Đại học Aalto ở Phần Lan giải thích rằng nghịch lý bạn bè phát sinh vì số lượng bạn bè mà mọi người có được phân phối theo quy luật phân phối mũ chứ không phải theo mối quan hệ tuyến tính thông thường. Vì vậy, hầu hết mọi người có một vài người bạn trong khi một số ít người có rất nhiều bạn bè. Chính nhóm một số ít người có nhiều bạn bè này gây ra nghịch lý. Những người có nhiều bạn bè có nhiều khả năng sẽ nằm trong số bạn bè của bạn ngay từ đầu. Và khi họ làm như vậy, họ sẽ tăng đáng kể số lượng bạn bè trung bình mà bạn bè của bạn có. Và kết quả là, khi tính trung bình, bạn bè của bạn có nhiều bạn bè hơn bạn.

 

Tài liệu tham khảo:

https://www.reliantsproject.com/2020/07/19/concept-10-felds-friendship-paradox-and-why-your-friends-have-more-friends/

https://www.livescience.com/friendship-paradox-math.html

https://academic.oup.com/comnet/article/9/2/cnab011/6287259

https://www.alexirpan.com/2017/09/13/friendship-paradox.html

 https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1412/1412.7049.pdf

https://www.technologyreview.com/2014/01/14/174587/how-the-friendship-paradox-makes-your-friends-better-than-you-are/#:~:text=The%20friendship%20paradox%20is%20the,probably%20wealthier%20and%20happier%2C%20too.&text=Back%20in%201991%2C%20the%20sociologist,the%20properties%20of%20social%20networks.

 

 

Có nhau mà cô đơn

 (Thơ Nguyễn Thiên Ngân)

Em là cây bá hương

Trên đồi anh sương trắng

Thung lũng chiều yên lặng

Nghe cơn mơ vang dài

Em nhìn mây bốn phương

Anh nhìn em vô vọng

Hai chúng ta mong ngóng

Những điều không của mình

Ngày lại ngày bên nhau

Lời nào rồi câm nín...

Sẽ chẳng ai hiểu nổi

Vì sao cây bá hương

Và ngọn đồi sương bạc

Có nhau mà cô đơn.

Ta nhớ ai hề, ta nhớ ai?

Sáng nay thức dậy đi mần sớm

Ta nhớ ai hề, ta nhớ ai?

Ta nhớ người nhìn ta ái ngại

“Nghỉ việc, mình nuôi, bạn viết văn”

Giá mà ta biết ta tài thực

Ta để người nuôi dạ cũng đành

Chỉ sợ ta viết lời phàm tục

Nhìn người bươn chải, lại ăn năn.

Giá mà ta biết ta buồn thực

Ta uống cho say khướt cuộc này

Ta dựa vai người ta khóc ngất

Ta muốn say mà, ta muốn say

Giá mà ta thiếp đi một chốc

Tỉnh lại thấy người đang nắm tay

Phải mà người biết trăm cơn mộng

Chỉ nhớ người thôi - nhớ rất đầy

Giá mà ta gặp nhau trước nhất

Trước thuở lòng ta gặp gió giông

Ta sẽ yêu người như hoa lá

Của tuổi hồn nhiên, mộng trắng trong

Giá mà người ạ, người đến sớm

Ta chẳng phải đi hết một vòng...

Nguồn: Tập thơ Mình phải sống như mùa hè năm ấy, NXB Văn học, 2012

Monty Hall problem

 

(Nguồn: https://probabilityandstats.wordpress.com/2017/05/11/monty-hall-problem/)

 

Có 3 cánh cửa, phía sau là hai con dê và một chiếc ô tô.

·      Bạn chọn một cửa (Ví dụ, chọn cửa 1). Bạn đang hy vọng cho chiếc xe sẽ ở sau cửa 1.

·      Monty Hall, người dẫn chương trình trò chơi, kiểm tra các cánh cửa khác (2 & 3) và mở một cánh cửa mà sau cánh cửa đó là một con dê.

Đây là trò chơi: Bạn chọn cửa 1 (dự đoán ban đầu) hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?

Việc thay đổi cánh cửa có quan trọng không?

​

(Nguồn: https://tomrocksmaths.com/2021/06/08/the-problem-with-monty-hall/)

 

Bài toán Monty Hall là một câu đố xác suất, dựa trên chương trình trò chơi truyền hình Mỹ Let's Make a Deal và được đặt tên theo người dẫn chương trình ban đầu, Monty Hall. Bài toán Monty Hall lần đầu tiên xuất hiện trong thế giới toán học vào năm 1990 trong một bức thư gửi cho Marilyn vos Savant - người vào thời điểm đó đã được liệt kê trong Sách kỷ lục Guinness thế giới là người có chỉ số IQ cao nhất được ghi nhận trong số những người còn sống.

Tài liệu tham khảo:

https://brilliant.org/wiki/monty-hall-problem/

https://statisticsbyjim.com/fun/monty-hall-problem/

https://betterexplained.com/articles/understanding-the-monty-hall-problem/  

 

 

Two-Envelope Paradox

  

Bài toán hai phong bì - Two-Envelope Paradox -là một nghịch lý nổi tiếng từ lý thuyết xác suất. Hãy tưởng tượng bạn được đưa cho hai phong bì, một phong bì chứa số tiền gấp đôi so với phong bì kia. Bạn được phép chọn một phong bì và giữ tiền bên trong. Nhưng ngay trước khi bạn mở phong bì đã chọn, bạn sẽ có cơ hội thay đổi quyết định của mình.

Bạn nên giữ phong bì bạn đã chọn trước hay chuyển đổi?

(Nguồn: https://calmcode.io/birthday-problem/birthdays.html) 

 

Các lập luận xác suất kết luận rằng việc người chơi chuyển đổi lựa chọn của mình là tối ưu. Giá trị mong đợi của việc chuyển đổi lớn hơn giá trị kỳ vọng của việc giữ lại chiếc phong bì ban đầu. Nhưng điều này là vô nghĩa về mặt trực giác do tính đối xứng của tình huống, đó là lý do tại sao điều này đôi khi được gọi là nghịch lý.

Bài toán hai chiếc phong bì có một giống như người anh em họ nổi  tiếng hơn, đó là bài toán Monty Hall - Monty Hall problem

Tài liệu tham khảo:

https://plus.maths.org/content/two-envelopes-problem-resolution

http://www.gatsby.ucl.ac.uk/~turner/Notes/TwoEnvelopes/2envlps.pdf

https://waitbutwhy.com/table/two-envelopes-problem

 

 

Birthday Paradox

 

Nghịch lý ngày sinh - the birthday paradox, còn được gọi là the birthday problem, liên quan đến một bài toán nhỏ, cụ thể là "trong một nhóm ngẫu nhiên gồm 23 người, có khoảng 50% khả năng hai người có cùng ngày sinh nhật".

Điều này có vẻ như là một nghịch lý.

Bài toán tổng quát là:

          In a set of n randomly selected people, what is the probability that at least two people share the same birthday? What is the smallest value of  n where the probability is at least 50% or 99%?

 

Câu trả lời có thể làm bạn bất ngờ: xác suất đạt được 50% chỉ với 23 người và 99% chỉ với 70 người.

(Nguồn: https://calmcode.io/birthday-problem/birthdays.html)

  

 

Tài liệu tham khảo:

https://brilliant.org/wiki/birthday-paradox/

https://www.physics.harvard.edu/files/sol46.pdf

https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Probability_Theory/Probability_Mathematical_Statistics_and_Stochastic_Processes_(Siegrist)/12%3A_Finite_Sampling_Models/12.06%3A_The_Birthday_Problem.

https://www.scientificamerican.com/article/bring-science-home-probability-birthday-paradox/

https://www.britannica.com/science/probability-theory/The-birthday-problem

 

Berkson’s paradox

 

Berkson’s paradox (còn được biết đến với tên gọi Berkson’s fallacy hay Berkson’s bias)  được đặt theo tên của các nhà thống kê đầu tiên mô tả nghịch lý, Joseph Berkson và John Jekel. Nghịch lý Berkson-Jekel được phát hiện ra khi hai nhà thống kê đang nghiên cứu mối tương quan giữa hút thuốc và ung thư phổi. Trong quá trình nghiên cứu, họ đã tìm thấy mối tương quan giữa những người nhập viện vì viêm phổi và ung thư phổi so với dân số nói chung. Tuy nhiên, họ đã tiến hành nghiên cứu sâu hơn cho thấy mối tương quan là tìm ra những thực tế không giống như ngộ nhận về mối liên hệ giữa hai căn bệnh. 

Berkson đã viết về nghịch lý này vào năm 1946. Bài báo gốc của ông chỉ ra rằng hai căn bệnh không có mối quan hệ thực sự nào lại có thể là cái mà ông gọi là 'liên quan giả tạo - spuriously associated' trong các nghiên cứu kiểm soát ca bệnh tại bệnh viện. Tuy nhiên, ý tưởng này không được chấp nhận rộng rãi cho đến năm 1979, khi David Sackett của Đại học McMaster đưa ra bằng chứng mạnh mẽ rằng nghịch lý Berkson thực sự tồn tại.

 

Nghịch lý Berkson-Jekel cũng có thể được xem  là xảy ra khi hai biến tương quan với nhau trong dữ liệu, tuy nhiên, khi dữ liệu được nhóm lại hoặc tập hợp con, mối tương quan không còn xác định được nữa. Nghĩa là, mối tương quan giữa các sự kiện khác nhau trong các nhóm dữ liệu con khác nhau.

 

 

(Nguồn: https://www.fantasylabs.com/articles/labyrinthian-berksons-paradox-and-daily-fantasy-sports/)

 

 

Một số ví dụ của Nghịch lý Berkson-Jekel

·      Trong một nghiên cứu tại bệnh viện xác định xem ung thư tuyến tụy và việc sử dụng cà phê có tương quan với nhau hay không, nhóm đối chứng được lấy từ các bệnh nhân của bác sĩ chuyên khoa tiêu hóa. Tuy nhiên, những bệnh nhân bị rối loạn tiêu hóa ít có khả năng uống cà phê hơn so với dân số nói chung vì họ bị rối loạn tiêu hóa. Vì vậy, nghiên cứu đã thổi phồng tỷ lệ uống cà phê một cách giả tạo trong nhóm thử nghiệm trái ngược với nhóm kiểm soát giảm bớt.

·      Nhiều cá nhân sẽ chỉ hẹn hò với những đối tác vừa hấp dẫn vừa có tính cách tốt. Tuy nhiên, có một nhận xét phổ biến (mặc dù không có căn cứ) rằng những người đàn ông đẹp trai thường là những kẻ lừa tình; hoặc những cô gái tóc vàng thường ngốc nghếch.

·      Có những nhận định cho rằng xếp hạng chất lượng cho những cuốn sách đã giành được giải thưởng văn học đã giảm xuống sau khi cuốn sách giành được giải thưởng.

·      Giả sử một trường đại học chỉ nhận những sinh viên có điểm trung bình đủ cao và điểm ACT đủ cao. Mọi người đều biết rằng hai biến số này có mối tương quan thuận, nhưng hóa ra trong số những sinh viên quyết định theo học một trường đại học cụ thể nào đó, dường như có mối tương quan nghịch giữa hai yếu tố này.

 

Tài liệu tham khảo:

https://brilliant.org/wiki/berksons-paradox/

https://www.fantasylabs.com/articles/labyrinthian-berksons-paradox-and-daily-fantasy-sports/

https://www.kdnuggets.com/2023/03/berksonjekel-paradox-importance-data-science.html#:~:text=Berkson%2DJekel%20paradox%20is%20when,different%20subgroups%20of%20the%20data.

100 prisoners problem

 Bài toán 100 tù nhân - 100 prisoners problem này lần đầu tiên được công bố vào năm 2003 bởi nhà khoa học máy tính người Đan Mạch Peter Bro Miltersen. Bài toán 100 tù nhân có nhiều phiên bản khác nhau trong tài liệu toán học, nhưng nguyên tắc luôn giống nhau. Đây là một trong số các phiên bản của bài toán:

 

Cai ngục của một nhà tù cho 100 tử tù, được đánh số từ 1 đến 100, một cơ hội cuối cùng. Một căn phòng chứa một cái tủ với 100 ngăn kéo. Giám đốc đặt ngẫu nhiên số của một tù nhân trong mỗi ngăn kéo đã đóng. Các tù nhân lần lượt vào phòng. Mỗi tù nhân có thể mở và xem xét 50 ngăn kéo theo thứ tự bất kỳ. Các ngăn kéo được đóng lại sau đó. Nếu, trong quá trình tìm kiếm này, mọi tù nhân tìm thấy số của mình trong một trong các ngăn kéo, tất cả các tù nhân đều ân xá. Chỉ cần một tù nhân không tìm thấy số của mình, tất cả tù nhân sẽ chết. Trước khi tù nhân đầu tiên bước vào phòng, các tù nhân có thể thảo luận về chiến lược nhưng không được giao tiếp khi tù nhân đầu tiên bước vào để tìm trong các ngăn kéo.

 Chiến lược tốt nhất của tù nhân là gì?

(Nguồn: https://en.wikipedia.org/wiki/100_prisoners_problem)

  

Bản gốc bằng tiếng Anh

 

The director of a prison offers 100 death row prisoners, who are numbered from 1 to 100, a last chance. A room contains a cupboard with 100 drawers. The director randomly puts one prisoner’s number in each closed drawer. The prisoners enter the room, one after another. Each prisoner may open and look into 50 drawers in any order. The drawers are closed again afterwards. If, during this search, every prisoner finds his number in one of the drawers, all prisoners are pardoned. If just one prisoner does not find his number, all prisoners die. Before the first prisoner enters the room, the prisoners may discuss strategy—but may not communicate once the first prisoner enters to look in the drawers.

 What is the prisoners’ best strategy?

 

Lời giải cho bài toán

Nếu mỗi tù nhân chọn ngẫu nhiên 50 ngăn kéo, thì mỗi tù nhân sẽ có xác suất 0,5 để tìm số của chính họ và tất cả các tù nhân sẽ có xác suất kết hợp (1/2)^100 để được ân xá. Tuy nhiên, tồn tại một chiến lược mang lại cho các tù nhân xác suất thành công của hơn 30%. Chìa khóa của chiến lược đó là mỗi tù nhân có thể sử dụng thông tin từ các ngăn kéo trước đó để chọn mở ngăn kéo tiếp theo. Mấu chốt của chiến lược này là xác suất thành công của mỗi tù nhân là không không còn độc lập với xác suất thành công của các tù nhân khác.

Bạn có thấy bóng dáng của suy diễn Bayes trong bài toán này không 😊

 

Tài liệu tham khảo:

[1].              http://datagenetics.com/blog/december42014/index.html

[2].              https://math.mit.edu/~apost/courses/18.204_2018/Timothee_Schoen_paper.pdf

[3].              https://www.r-bloggers.com/2010/07/100-prisoners-100-lines-of-code/